Question

12．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AB=3$\sqrt{2}$，AD=3．
（1）求证：△ADC是直角三角形；
（2）求△ABD的面积及BD的长．

Answer 1

分析 （1）由AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，利用正弦定理可得：AD²+AC²=DC²，即可证明；
（2）由于sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD，可得sin∠BAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$．可得S_△BAD=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$．利用余弦定理可得：BD²．

解答 （1）证明：∵点D在BC边上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，
由正弦定理可得：AD²+AC²=DC²，
∴∠DAC=90°．
∴△ADC是直角三角形．
（2）解：∵sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD，
又∠BAD是锐角，∴sin∠BAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$=$\frac{1}{3}$．
∴S_△BAD=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3×\frac{1}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
由余弦定理可得：BD²=$（3\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}-2×3\sqrt{2}×3×cos∠BAD$=3，
解得BD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．