Question

15．设a＞0，若y=cos²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值．

Answer 1

分析 用配方法整理函数解析式，根据sinx的范围和a的范围确定函数的最大和最小值，联立方程可求得a和b．

解答 解：原函数变形为y=-$（sinx+\frac{a}{2}）^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a＞0，
∴若0＜a≤2，当sinx=-$\frac{a}{2}$时，
y_max=1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0，①
当sinx=1时，y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4，②
联立①②式解得a=2，b=-2；
若a＞2时，$\frac{a}{2}$∈（1，+∞），
∴y_max=-$（1-\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=a+b=0，③
y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4，④
由③④得a=2时，而$\frac{a}{2}$=1（舍去），
故a=2，b=-2．

点评 本题考查三角函数的最值，主要考查了二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．