Question

17．已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设出直线的截距式方程，表示出面积和周长的关系，解方程即可．

解答 解：设直线的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，
∵直线l的倾斜角为锐角，∴ab＜0，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|a|•|b|=6，即|a|•|b|=12，
三角形的周长l=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+|a|+|b|=12，
即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=12-（|a|+|b|），
平方得a²+b²=144-24（|a|+|b|）+（|a|+|b|）²=144-24（|a|+|b|）+a²+2|a|•|b|+b²，
即|a|+|b|=7，
解得|a|=3，|b|=4，
即a=3，b=-4，或a=-3，b=4，
则直线方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{-4}$=1或$\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}$=1，
即4x-3y=12或4x-3y=-12．

点评 本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法结合直线的截距式方程建立方程关系是解决本题的关键．