Question

【题目】如图，已知与分别是边长为1与2的正三角形，，四边形为直角梯形，且，，点为的重心，为中点，平面，为线段上靠近点的三等分点．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）连并延长交于，连，由三角形的重心的条件及题意可得，故，再根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意得两两垂直，由此建立空间直角坐标系．设，结合条件求得平面的法向量为，又平面的法向量为，根据二面角的余弦值为可求得，进而可求得异面直线与所成角的余弦值．

详解：（1）证明：在中，连并延长交于，连．

因为点为的重心，

所以，且为中点．

又，

所以，

所以．

又为中点，

所以．

又，

所以，

所以，，，四点共面，

又平面，平面，

所以平面．

（2）由题意，平面，即平面，

又平面，

所以．

因为平面平面，且交线为，，

所以平面．

又四边形为直角梯形，，，

所以，

所以平面．

因为，，

所以平面平面，

又与分别是边长为1与2的正三角形，

故以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，，，

因为，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，得．

又平面的法向量．

由题意得，

解得，

又，，

所以 ．

所以异面直线与所成角的余弦值为．