题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若函数在
处取得极值,对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ①当时,
的递减区间是
,无递增区间;②当
时,
的递增区间是
,递减区间是
.
(2) .
【解析】分析:(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)由函数
在
处取得极值,可得
,
,等价于
利用导数研究函数的单调性可得以,从而得
.
详解:(1)在区间上,
①若,则
,
是区间
上的减函数;
②若,令
得
在区间上,
,函数
是减函数;
在区间上,
,函数
是增函数;
综上所述,①当时,
的递减区间是
,无递增区间;
②当时,
的递增区间是
,递减区间是
.
(2)因为函数在
处取得极值,
所以
解得,经检验满足题意.
由已知,则
令,则
易得在
上递减,在
上递增,
所以,即
.
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