Question

15．观察下列等式

照此规律下去
（Ⅰ）写出第5个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件直接写出第5个等式．
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

解答 解：（Ⅰ）第5个等式 5+6+7+…+13=81…（3分）
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²…（6分）
证明：（1）当n=1时显然成立；…（7分）
（2）假设n=k（k≥1，k∈N₊）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）²…（8分）
那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（2k-1）+3k+3k+1
=（2k-1）²+（2k-1）+（3k）+（3k+1）
=4k²-4k+1+8k=（2k+1）²=[2（k+1）-1]²…（11分）
而右边=[2（k+1）-1]²
这就是说n=k+1时等式也成立．
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N₊都成立．…（12分）

点评 本题考查数学归纳法的证明步骤的应用，归纳推理的方法，考查计算能力．