题目内容
【题目】已知半径为 的圆C,其圆心在射线y=﹣2x(x<0)上,且与直线x+y+1=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)从圆C外一点P(x0 , y0))向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求△PMC面积的最小值,并求此时点P的坐标.
【答案】
(1)解:已知圆的半径为 ,设圆心C(a,﹣2a)(a<0),
∵圆心到直线x+y+1=0的距离d= ,
∴a=﹣1.
∴圆心C(﹣1,2).
则圆的方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=2
(2)解:点P(x0,y0),则PO= ,PM=
,
由|PM|=|PO|,得2x0﹣4y0+3=0,
PM=PO= =
=
= .
当 时,PM=
.因此,PM的最小值为
.
△PMC面积的最小值是: =
.
此时点P的坐标为( ,
)
【解析】(1)设圆心C(a,﹣2a)(a<0),圆心到直线x+y+1=0的距离d= ,求出圆心,可得圆的方程;(2)由|PM|=|PO|,得2x0﹣4y0+3=0,化简PM=PO=
=
,求出PM的最小值,进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可.
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