Question

3．若二项式（$\frac{\sqrt{5}}{5}$x²+$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项为m，则${∫}_{1}^{m}$（x²-2x）dx=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由二项式系数的性质求得m，代入${∫}_{1}^{m}$（x²-2x）dx，写出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．

解答 解：由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}•（\frac{\sqrt{5}}{5}{x}^{2}）^{6-r}•（\frac{1}{x}）^{r}$=$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{6-r}•{C}_{6}^{r}•{x}^{12-3r}$．
令12-3r=0，得r=4．
∴m=$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}•{C}_{6}^{4}$=3．
则${∫}_{1}^{m}$（x²-2x）dx=${∫}_{1}^{3}（{x}^{2}-2x）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}）{|}_{1}^{3}$=$（\frac{1}{3}×{3}^{3}-{3}^{2}）-（\frac{1}{3}-1）=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查定积分的求法，关键是熟记基本初等函数的导数公式，是基础的计算题．