Question

15．已知0＜x＜1，若复数$z=\sqrt{x}+i\sqrt{sinx}$所对应的点有n个在以原点为圆心的单位圆上，则n=1．

Answer 1

分析 求出复数z所对应点的坐标，利用曲线的参数方程求得z所对应点的轨迹，由单调性可得函数$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$（0＜x＜1，0＜y＜1）与单位圆x²+y²=1的交点个数为1．

解答 解：复数$z=\sqrt{x}+i\sqrt{sinx}$所对应的点的坐标为（$\sqrt{x}，\sqrt{sinx}$），
则由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\sqrt{x}}\\{{y}^{′}=\sqrt{sinx}}\end{array}\right.$，得${y}^{′}=\sqrt{sin（{x}^{′}）^{2}}$（0＜x′＜1，0＜y′＜1）．
∴z对应的点的轨迹为$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$（0＜x＜1，0＜y＜1）．
∵函数$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$为定义域内的单调递增函数，
∴函数$y=\sqrt{sin{x}^{2}}$（0＜x＜1，0＜y＜1）与单位圆x²+y²=1的交点个数为1．
故答案为：1．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了曲线的参数方程，考查两曲线交点个数的判断，是中档题．