题目内容

正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.
证明略
  方法一 如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.


∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD.

又∵AP=DQ,∴PE=QB,
又∵PM∥AB∥QN,
,∴PM   QN,
∴四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN.
又MN平面BCE,PQ平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
方法二 如图所示,连接AQ,并延长交BC于K,连接EK,
∵AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
=                                       ①
又∵AD∥BK,∴=                           ②
由①②得=,∴PQ∥EK.
又PQ平面BCE,EK平面BCE,
∴PQ∥平面BCE.
方法三 如图所示,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,
连接QM.
∵PM∥BE,PM平面BCE,
即PM∥平面BCE,
=                                   ①
又∵AP=DQ,∴PE=BQ,
=                                   ②
由①②得=,∴MQ∥AD,
∴MQ∥BC,又∵MQ平面BCE,∴MQ∥平面BCE.
又∵PM∩MQ=M,∴平面PMQ∥平面BCE,
PQ平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
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