题目内容
14.三棱柱ABC-A1B1C1的底是边长为1的正三角形,高AA1=1,在AB上取一点P,设△PA1C1与面A1B1C1所成的二面角为α,△PB1C1与面A1B1C1所成的二面角为β,则tan(α+β)的最小值是-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$.分析 作PP1⊥A1B1,过P1作P1H⊥A1C1,由三垂线定理得∠PHP1=α,设AP=x,求出tanα,同理求出tanβ,由此利用正切加法定理能求出tan(α+β)的最小值.
解答 解:作PP1⊥A1B1,则PP1是三棱柱的高.
过P1作P1H⊥A1C1,连结PH,则∠PHP1=α,
设AP=x,BP=1-x(0≤x≤1),则$tanα=\frac{2}{{\sqrt{3}x}}$,
同理$tanβ=\frac{2}{{\sqrt{3}(1-x)}}$,
∴$tan(α+β)=\frac{{2\sqrt{3}}}{3x(1-x)-4}≥-\frac{8}{13}\sqrt{3}$(当$x=\frac{1}{2}$时取等号),
∴tan(α+β)的最小值是-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$.
故答案为:-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$.
点评 本题考查两角和正切的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三垂线定理和正切加法定理的合理运用.
练习册系列答案
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