Question

【题目】已知函数对任意的实数都有：，且当时，有.

(1)求．

(2)求证：在上为增函数．

(3)若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析 (3)

【解析】

（1）令m＝n=0计算即可；（2）根据函数单调性定义进行证明，将f（x2）变形成f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1＝f（x1），从而得到函数的单调性；（3）由已知条件可将不等式变为f（ax﹣2+x﹣x2）＜2，根据f（1）＝2及f（x）在R上为增函数可转为x2﹣（a+1）x+3＞0在[1，+∞）恒成立，通过讨论对称轴和1的大小可得答案.

(1)令,则,

∴.

(2)证明：设,且,

则．

∵,

∴，

∴．

故在上为增函数．

(3)∵，

即，

∴，

∵,

∴.

又在上为增函数,

∴．

∴对任意的恒成立.

令，

①当,即时,函数在上单调递增，

由,得,

∴；

②当,即时,由,得，

∴.

综上可得实数的取值范围为．