Question

20．已知等差数列{a_n}中，a₁，a₂，a₄成等比数列，则$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$的值为（　　）

• A． 1或$\frac{10}{9}$
• B． $\frac{9}{10}$
• C． 1
• D． 1或$\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 根据a₁，a₂，a₄成等比数列，得出a₁，d关系式，a₁=d或d=0，利用等差数列的通项公式进行化简计算即可．

解答 解：a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴a₁a₄=a₂²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），
化简整理得出，a₁d=d²，
∴a₁=d，或d=0，
若a₁=d，则$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$=$\frac{2{a}_{1}+16d}{2{a}_{1}+18d}$=$\frac{2d+16d}{2d+18d}=\frac{18}{20}$=$\frac{9}{10}$，
若d=0，则a_n=a₁，则$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$=$\frac{2{a}_{1}}{2{a}_{1}}=1$，
综上$\frac{{a}_{2}+{a}_{16}}{{a}_{3}+{a}_{17}}$=1或$\frac{9}{10}$，
故选：D．

点评 本题考查等差数列通项公式的应用，根据等比数列的基本性质求出首项和公差的关系是解决本题的关键．