Question

7．在平面直角坐标系中，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{2x+y≤4}\\{x-y+a≥0}\end{array}\right.$，（a为常数）表示的平面区域的面积为3，则z=x+y的取值范围是[-1，3]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用三角形的面积求出a的值，结合目标函数的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，则B（2，0），C（-a，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{x-y+a=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4-a}{3}}\\{y=\frac{4+2a}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4-a}{3}$，$\frac{4+2a}{3}$），
由图象知a＞0，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$（2+a）×（$\frac{4+2a}{3}$）=3，
即（a+2）²=9，
解得a+2=3或a+2=-3，
即a=1或a=-5（舍），
由z=x+y，得y=-x+z，
平移直线y=-x+z，由图象知当直线y=-x+z经过点C（-1，0）时，直线的截距最小，此时z=-1，
当直线y=-x+z经过点A（1，2）时，直线的截距最大，此时z=1+2=3，
即-1≤z≤3，
故答案为：[-1，3]

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据三角形的面积公式求出a的值是解决本题的关键．注意利用数形结合．