Question

7．函数f（x）=min{2-|x|，x²-2x}，其中min{p，q}表示p，q两者中较小者，则f（x）的值域为（-∞，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$]．

Answer 1

分析 讨论当2-|x|≥x²-2x，当2-|x|＜x²-2x，可得f（x）的解析式，分别求得f（x）的范围，再求并集即可得到所求值域．

解答 解：当2-|x|≥x²-2x，解得$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$≤x≤2，f（x）=x²-2x；
当2-|x|＜x²-2x，解得x＜$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$或x＞2，f（x）=2-|x|．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤x≤2}\\{2-|x|，x＞2或x＜\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$；
当$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$≤x≤2，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
当x=1时，取得最小值-1，x=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$时，取得最大值$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$；
x＜$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$或x＞2，f（x）=2-|x|．
可得f（x）＜0或f（x）＜$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$．
综上可得f（x）的值域为（-∞，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．