Question

17．设a为实数，函数f（x）=x²+a|x-a|+1，x∈R
（Ⅰ）若函数f（x）满足：f（0）=0，试求实数a的值
（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为g（a），试求函数g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入函数f（x）的表达式，得到a²+1=0，判断即可；（2）通过讨论a的范围，分情况把f（a）的最小值表示出来即可．

解答 解：（1）由f（0）=0，得：f（0）=a|0-a|+1=0，
解得：a=-1；
（2）当x≥a时，f（x）=x²+ax+1-a²，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
若a≤-$\frac{a}{2}$即a≤0时，f（x）min=f（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$+1-a²=1-$\frac{5}{4}$a²，
若a＞-$\frac{a}{2}$即a＞0时，f（x）min=f（a）=a²+1，
当x＜a时，f（x）=x²-ax+a²+2，对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
若a≤$\frac{a}{2}$即a≤0时，f（x）＞f（a）=a²+1，
若a＞$\frac{a}{2}$即a＞0时，f（x）min=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{3}{4}$a²+1，
a≤0时，（a²+1）-（1-$\frac{5}{4}$a²）=$\frac{9}{4}$a²≥0，
∴f（x）_min=1-$\frac{5}{4}$a²，
a＞0时，（a²+1）-（$\frac{3}{4}$a²+1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
∴f（x）_min=$\frac{3}{4}$a²+1，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{\frac{5}{4}a}^{2}，a≤0}\\{{\frac{3}{4}a}^{2}+1，a＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的单调性和最值得求法，属于中档题．