题目内容
【题目】已知关于x的函数,其导函数
.
(1)如果函数在
处有极值
,求函数
的表达式;
(2)当时,函数
的图象上任一点P处的切线斜率为k,若
,求实数b的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)首先求出,根据极值的定义可得
,解方程组求出
、
,将
、
的值代入验证函数能否取得极值即可求解.
(2)由,设图象上任意一点
,利用导数的几何意义可得任意
,
恒成立,分离参数只需任意
恒成立,设
,利用导数求出
的最小值即可.
(1),
因为函数在
处有极值
,
所以
解得或
.
(i)当时,
,
所以在
上单调递减,不存在极值
(ii)当时,
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减,
所以在
处存在极大值,
符合题意综上所述,满足条件的值为
故函数.
(2)当时,函数
,
设图象上任意一点,则
,
因为,所以对任意
,
恒成立,
所以对任意,不等式
恒成立,
设,则
,
当时,
故在区间
上单调递减,
所以对任意,
所以.
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