Question

【题目】有下列五个命题： ①函数y=4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；
②已知定义域为R的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），当x∈（0， ）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9；
③为了得到函数y=﹣cos2x的图象，可以将函数y=sin（2x﹣ ）的图象向左平移 ；
④已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1 ， x2∈[﹣ ， ]且f（x1）+f（x2）＞0，则x1+x2＞0；
⑤设曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为x= ，则点（ ，0）为曲线y=f（ ﹣x）的一个对称中心．
其中正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④⑤
【解析】解：①函数y=4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；正确， ②由f（x+3）=f（x）得函数的周期是3，
当x∈（0， ）时，f（x）=sinπx，sinπx=0得πx=kπ，则x=k，在x∈（0， ）内，x=1，只有一个零点，
则f（1）=f（4）=0，
又f（﹣1）=﹣f（1）=0，则f（﹣1）=f（2）=f（5），
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，则f（0）=f（3）=f（6）=0，
令x=﹣ ，则f（﹣ +3）=f（﹣ ），即f（ ）=﹣f（ ），则f（ ）=0，则f（ ）=f（ ）=0
则函数f（x）在区间[0，6]上的零点为0，1，2，3，4，5，6， ， ，共9个零点，故②正确；
③将函数y=sin（2x﹣ ）的图象向左平移 得到y=sin[2（x+ ）﹣ ）]=sin（2x+ ）；而y=﹣cos2x=cos（π﹣2x）=sin（ ﹣π+2x）=sin（2x﹣ ），故③错误，
④已知函数f（x）=x﹣sinx，则函数f（x）是奇函数，且函数的导数f′（x）=1﹣cosx≥0，则f（x）为增函数，
若x1 ， x2∈[﹣ ， ]且f（x1）+f（x2）＞0，得f（x1）＞﹣f（x2）=f（﹣x2），即x1＞﹣x2 ， 则x1+x2＞0成立；故④正确，
⑤曲线f（x）=acosx+bsinx= sin（x+θ），tanθ= ，
所以函数的周期为：2π．因为曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为 ，
所以函数的一个对称点为：（ ），即（ ）．
函数y=f（﹣x）的一个对称中心为（ ），
的图象可以由函数y=f（﹣x）的图象向右平移 单位得到的，
所以曲线 的一个对称点为（ ），即 ．故⑤正确，
所以答案是：①②④⑤．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．