Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣2bx+a（a，b∈R）
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率；
（2）若b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：a取集合{0，1，2，3}中任一元素，

b取集合{0，1，2，3}中任一元素

∴a、b的取值情况的基本事件总数为16．

设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，

当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为b＞a，且a≠0．

当b＞a时，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）

即A包含的基本事件数为3．

∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）=

（2）解：∵b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数

则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6

设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，

则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，

其面积SM=6﹣ ×2×2=4，

由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）= = = ．

【解析】（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有16种情况，又因为方程有两个不相等的根，所以根的判别式大于零得到a＞b，而a＞b占6种情况，所以方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P=0.5；（2）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．
【考点精析】通过灵活运用几何概型，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等即可以解答此题．