题目内容
16．
如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．设直线l：x=my+1（m≠0）与椭圆C相交于A，B两点，点A关于x轴对称点为A′．（1）求椭圆C的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程；
（3）试问：当m变化时，直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
分析 （1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知a=2，进而利用离心率的值计算即得结论；
（2）通过AB以线段AB为直径的圆过坐标原点O可知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，通过联立直线l与椭圆方程、利用韦达定理化简x1x2+y1y2=0，进而计算可得结论；
（3）通过在直线A'B的方程$\frac{{y+{y_1}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$中令y=0，计算可知x=4，即当m变化时，直线A'B与x轴交于定点（4，0）．
解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+{c}^{2}={2}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：（m2+4）y2+2my-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{m^2}+4}}\end{array}\right.$，
∵AB以线段AB为直径的圆过坐标原点O，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x1x2+y1y2=0，
∴$（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）+{y_1}{y_2}=0，（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1=0$，
∴$（{m^2}+1）（-\frac{3}{{{m^2}+4}}）+m（-\frac{2m}{{{m^2}+4}}）+1=0，\frac{{-4{m^2}+1}}{{{m^2}+4}}=0$，
即${m^2}=\frac{1}{4}$，解得：$m=±\frac{1}{2}$，
故所求直线l的方程为$x=\frac{1}{2}y+1或x=-\frac{1}{2}y+1$；
（3）结论：当m变化时，直线A'B与x轴交于定点（4，0）．
理由如下：
由（2）知：A'（x1，-y1）则直线A'B的方程为$\frac{{y+{y_1}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
令y=0，得x=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$•y1+x1
=$\frac{（m{y}_{2}-m{y}_{1}）{y}_{1}+（m{y}_{1}+1）（{y}_{2}+{y}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$
=$\frac{m{y}_{2}{y}_{1}-m{{y}_{1}}^{2}+m{y}_{2}{y}_{1}+m{{y}_{1}}^{2}+{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$
=$\frac{2m{y}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+1
=$\frac{2m•（-\frac{3}{{m}^{2}+4}）}{-\frac{2m}{{m}^{2}+4}}$+1
=3+1
=4，
这说明：当m变化时，直线A'B与x轴交于定点（4，0）．
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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