题目内容
【题目】【2017湖南娄底二模】如图,四棱锥的底面
是平行四边形,侧面
是边长为2的正三角形,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)设是棱
上的点,当
平面
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)要证平面平面
,只需证
平面
即可.
(Ⅱ)分别以、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图,求平面
的一个法向量和平面
的一个法向量求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)取的中点
,连接
,
,
因为是边长为2的正三角形,所以
,
,①
又,所以
,且
,
于是,从而
,②
由①②得平面
,而
平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)连结,设
,则
为
的中点,连结
,当
平面
时,
,所以
是
的中点.
由(Ⅰ)知, 、
、
两两垂直,分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图,则
、
、
、
,
由、
坐标得
,从而
,
,
设是平面
的一个法向量,则由
得
,
取,得
,易知平面
的一个法向量是
,
所以
,
由图可知,二面角的平面角为钝角,故所求余弦值为
.
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