题目内容

7.如图,点A是单位圆与x轴正半轴的交点,B(-$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$).
(I)若∠AOB=α,求cosα+sinα的值;
(II)设点P为单位圆上的一个动点,点Q满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$.若∠AOP=2θ,$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$表示|$\overrightarrow{OQ}$|,并求|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值.

分析 (I)直接利用三角函数的定义求出正弦函数以及余弦函数值,即可cosα+sinα的值;
(II)设Pcos2θ,sin2θ,点Q满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$.表示出表示|$\overrightarrow{OQ}$|,然后通过三角函数的值域求|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值.

解答 (本小题13分)
解:(Ⅰ)点A是单位圆与x轴正半轴的交点,B(-$\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$).
可得sinα=$\frac{4}{5}$,cosα=$-\frac{3}{5}$,∴cosα+sinα=$-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
(Ⅱ)因为P(cos2θ,sin2θ),A(1,0)所以$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$=(1+cos2θ,sin2θ),
所以$\left|\overrightarrow{OQ}\right|$=$\sqrt{(1+cos2θ)^{2}+{sin}^{2}2θ}$=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2|cosθ|,因为$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$,
所以$\left|\overrightarrow{OQ}\right|$=2|cosθ|∈$[0,\sqrt{3}]$,
|$\overrightarrow{OQ}$|的最大值$\sqrt{3}$.

点评 本题考查三角函数的定义的应用,三角函数最值的求法,考查计算能力.

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