题目内容
16.已知点A(3,2)和B(-1,5).(1)直线L1:y=mx+2过线段AB的中点,求m;
(2)若点C在直线L1 上,△ABC的面积为10,求点C的坐标.
分析 (1)求出相等中点,代入直线方程求m;
(2)设C(x,y),利用点C在直线L1 上,△ABC的面积为10,得到关于x,y的方程解之.
解答 解:(1)AB的中点坐标为(1,$\frac{7}{2}$),此点在直线L1:y=mx+2上,所以3.5=m+2,解得m=1.5;
(2)由(1)得L1:y=1.5x+2,即3x-2y+4=0,
设点C到直线AB的距离为d,
由题意知:|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+(-3)^{2}}$=5…(2分)
S△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×5×d=10,
∴d=4…(4分)
直线AB的方程为:$\frac{y-2}{5-2}=\frac{x-3}{-1-3}$,即3x+4y-17=0…(6分)
∵C点在直线3x-2y+4=0①上,设C(x,y)
∴d=$\frac{|3x+4y-17|}{5}$=4,②…(10分)
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{29}{9}}\\{y=\frac{41}{6}}\end{array}\right.$或者$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{11}{9}}\\{y=\frac{1}{6}}\end{array}\right.$
∴C点的坐标为:($\frac{29}{9},\frac{41}{6}$)或($-\frac{11}{9},\frac{1}{6}$)…(12分)
点评 本题考查三角形的面积公式、中点公式,点到直线的距离公式的应用,考查计算能力.
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