Question

【题目】已知函数（，且为常数）．

（1）若函数的图象在处的切线的斜率为（为自然对数的底数），求的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（3）已知，且．求证：．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）详见解析．

【解析】

（1）根据导数几何意义知，由此构造方程求得结果；

（2）将问题转化为且恒成立的问题，令，分别在、和或时，结合函数单调性确定最小值，令，从而求得的取值范围；

（3）根据（2）的结论可知在上单调递增，分类讨论可确定，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果.

（1）由题意得：

的图象在处的切线的斜率为，，

，解得：，

，或；

（2）函数在上单调递增，对于任意的，都有恒成立

即且，

当，恒成立，满足题意；

当时，由得：，即或或，

令，则，

①当且时，，在上单调递减，

要使得恒成立，即要求，

即，解得：，满足题意；

②当或，且时，，在上单调递增，

要使得恒成立，即要求，

即，解得：；

或

综上所述：的取值范围是；

（3）由（2）可知：当时，函数在上单调递增，此时，

当时，，而，

，即，

，

当时，，而，

，即，

综上，对于任意，都有，

，结论得证.