题目内容
10.给出下列命题:①函数f(x)=4cos(2x+$\frac{π}{3}$)+1的一个对称中心为(-$\frac{5π}{12}$,0);②函数y=f(1-x)与y=f(x-1)的图象关于x=0对称;③命题“?x>0,x2+2x-3>0”的否定是“?x≤0,x2+2x-3≤0”;④若α,β均为第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ,其中正确命题的个数为( )A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
分析 ①利用y=cosx的对称中心为:(kπ+$\frac{π}{2}$,0)(k∈z),可得函数f(x)=4cos(2x+$\frac{π}{3}$)+1的一个对称中心为(-$\frac{5π}{12}$,0);
②利用图象变换,可得函数y=f(1-x)与y=f(x-1)的图象关于x=0对称;
③根据命题的否定的写法,可知正确;
④如α=390°,β=30°,显然α>β,但是sinα=sinβ.
解答 解:①∵y=cosx的对称中心为:(kπ+$\frac{π}{2}$,0)(k∈z)
∴2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$得:x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$(k∈z)
当k=-1时,x=-$\frac{5π}{12}$
∴函数f(x)=4cos(2x+$\frac{π}{3}$)+1的一个对称中心(-$\frac{5π}{12}$,0),故正确.
②函数y=f(1-x)与y=f(x-1)的图象关于x=0对称,正确;
③命题“?x>0,x2+2x-3>0”的否定是“?x≤0,x2+2x-3≤0”,根据命题的否定的写法,可知正确;
④若α,β均为第一象限角,且α>β,则sinα<sinβ.显然不正确如α=390°,β=30°,显然α>β,但是sinα=sinβ
故选:D.
点评 本题考查余弦函数的对称性,以及余弦函数的图象、命题的否定,考查学生分析解决问题的能力,本题为中档题.
练习册系列答案
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A. | $\sqrt{3}$-1 | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ |
2.将函数y=sin2x+cos2x的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后,所得图象对应的解析式是( )
A. | y=cos2x+sin2x | B. | y=sin2x-cos2x | C. | y=cos2x-sin2x | D. | y=cosxsinx |