题目内容
【题目】若存在实数k,b,使得函数和
对其定义域上的任意实数x同时满足:
且
,则称直线:
为函数
和
的“隔离直线”.已知
,
(其中e为自然对数的底数).试问:
(1)函数和
的图象是否存在公共点,若存在,求出交点坐标,若不存在,说明理由;
(2)函数和
是否存在“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)存在,交点坐标为;(2)存在,
【解析】
(1)构造函数,求导得到函数的单调区间,得到函数在
处取得最小值为0,得到答案.
(2)设直线,根据
得到
,再证明
恒成立,令
,求导得到单调区间,计算最值得到证明.
(1)∵,
∴,令
,得
,
当时,
,
时,
,
故当时,
取到最小值,最小值是0,
从而函数和
的图象在
处有公共点,交点坐标为
.
(2)由(1)可知,函数和
的图象在
处有公共点,
因此存在和
的隔离直线,那么该直线过这个公共点,
设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为,
即,
由,可得
在
上恒成立,
则,只有
,
此时直线方程为:,下面证明
恒成立,
令,
,当
时,
,
当时
,函数单调递减;
时,
,函数单调递增,
则当时,
取到最小值是0,
所以,则
当
时恒成立.
∴函数和
存在唯一的隔离直线
.
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