题目内容
【题目】若存在实数k,b,使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足:且,则称直线:为函数和的“隔离直线”.已知,(其中e为自然对数的底数).试问:
(1)函数和的图象是否存在公共点,若存在,求出交点坐标,若不存在,说明理由;
(2)函数和是否存在“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)存在,交点坐标为;(2)存在,
【解析】
(1)构造函数,求导得到函数的单调区间,得到函数在处取得最小值为0,得到答案.
(2)设直线,根据得到,再证明恒成立,令,求导得到单调区间,计算最值得到证明.
(1)∵,
∴,令,得,
当时,,时,,
故当时,取到最小值,最小值是0,
从而函数和的图象在处有公共点,交点坐标为.
(2)由(1)可知,函数和的图象在处有公共点,
因此存在和的隔离直线,那么该直线过这个公共点,
设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为,
即,
由,可得在上恒成立,
则,只有,
此时直线方程为:,下面证明恒成立,
令,
,当时,,
当时,函数单调递减;时,,函数单调递增,
则当时,取到最小值是0,
所以,则当时恒成立.
∴函数和存在唯一的隔离直线.
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