题目内容

【题目】若存在实数kb,使得函数对其定义域上的任意实数x同时满足:,则称直线:为函数的“隔离直线”.已知(其中e为自然对数的底数).试问:

1)函数的图象是否存在公共点,若存在,求出交点坐标,若不存在,说明理由;

2)函数是否存在“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】1)存在,交点坐标为;(2)存在,

【解析】

1)构造函数,求导得到函数的单调区间,得到函数在处取得最小值为0,得到答案.

2)设直线,根据得到,再证明恒成立,令,求导得到单调区间,计算最值得到证明.

1)∵

,令,得

时,时,

故当时,取到最小值,最小值是0

从而函数的图象在处有公共点,交点坐标为.

2)由(1)可知,函数的图象在处有公共点,

因此存在的隔离直线,那么该直线过这个公共点,

设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为

,可得上恒成立,

,只有

此时直线方程为:,下面证明恒成立,

,当时,

,函数单调递减;时,,函数单调递增,

则当时,取到最小值是0

所以,则时恒成立.

∴函数存在唯一的隔离直线.

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