Question

12．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）实轴长等于20，离心率等于$\frac{5}{2}$；
（2）已知椭圆的方程式$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，双曲线E的一条渐近线方程是3x+4y=0，且双曲线E以椭圆的顶点为焦点．

Answer 1

分析 （1）利用长轴长等于20，离心率等于$\frac{5}{2}$，求出a，b，c，即可得出双曲线的标准方程；
（2）椭圆的方程式$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，顶点为（±$\sqrt{10}$，0），（0，±$\sqrt{5}$），再分类讨论，即可得出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）∵实轴长等于20，离心率等于$\frac{5}{2}$，
∴2a=20，$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{2}$，
∴a=10，c=25，b=$\sqrt{525}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{100}-\frac{{y}^{2}}{525}=1$；
（2）椭圆的方程式$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，顶点为（±$\sqrt{10}$，0），（0，±$\sqrt{5}$），
双曲线的焦点为（±$\sqrt{10}$，0），c=$\sqrt{10}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，∴a=$\sqrt{\frac{32}{5}}$，b=$\sqrt{\frac{18}{5}}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{32}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{18}{5}}=1$；
双曲线的焦点为（0，±$\sqrt{5}$），c=$\sqrt{5}$，$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，∴a=$\sqrt{\frac{9}{5}}$，b=$\sqrt{\frac{16}{5}}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{5}}=1$．
综上所述，双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{32}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{18}{5}}=1$，或$\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{16}{5}}=1$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，确定几何量是关键．