题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,
,
,
,二面角
为
,
为
的中点,点
在
上,且
(1)求证:四边形为直角梯形;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)通过证明,且
可得四边形
为直角梯形;
(2)过点作
的垂线交
于点
,则
,
,以
为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,求出面
和面
的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角
的余弦值.
(1)证明:因为平面
,
,
所以
因为,且
,
所以四边形为直角梯形;
(2)过点作
的垂线交
于点
,则
,
,以
为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
由(1)知,又
,则
为二面角
的平面角,则
,
,
所以,
,
所以,
,
,
所以,
,
设平面的法向量
,则
,即
令:,则
,
,所以
,
又平面的法向量
,
所以,
由题意知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为
.
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