题目内容
6.设$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$,且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为60°,则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2.分析 由题意易得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°,设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$,易证A、O、B、C四点共圆,由正弦定理和圆的知识可得结论.
解答 解:∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$,
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°,
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$,
则$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$,
则∠ACB=60°,∴∠AOB+∠ACB=180°,
∴A、O、B、C四点共圆,
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})^{2}}$=$\sqrt{3}$,
由正弦定理可得外接圆直径2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2,
当OC为直径时,|$\overrightarrow{c}$|取最大值2
故答案为:2
点评 本题考查数量积与向量的夹角,涉及正弦定理和圆的知识,属中档题.
A. | A⊆B⊆C⊆D | B. | D?C?B?A | C. | E=F | D. | A=B=E |
日产量(件) | 工人人数占全部工人数比重(%) |
15 | 12 |
20 | 18 |
25 | 24 |
30 | 30 |
35 | 16 |
总计 | 100 |