题目内容

6.设$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$,且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为60°,则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2.

分析 由题意易得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°,设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$,易证A、O、B、C四点共圆,由正弦定理和圆的知识可得结论.

解答 解:∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$,
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°,
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$,
则$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$,
则∠ACB=60°,∴∠AOB+∠ACB=180°,
∴A、O、B、C四点共圆,
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})^{2}}$=$\sqrt{3}$,
由正弦定理可得外接圆直径2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2,
当OC为直径时,|$\overrightarrow{c}$|取最大值2
故答案为:2

点评 本题考查数量积与向量的夹角,涉及正弦定理和圆的知识,属中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网