Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数 的极值；

（2）若在内为单调增函数，求实数的取值范围；

（3）对于，求证： .

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值.（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）将代入，对函数求导，由单调性可判断函数的极值；（2）将函数 在内为单调增函数，则在上恒成立，进一步转化为一元二次不等式恒成立问题，可求的取值范围；（3）由函数单调性，当时， ，即．令，变形后可证不等式．

试题解析：（1），

（1）若， ，令得或（舍去），

令，所以函数的极小值为，无极大值.

（2）在上单调递增， 在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

当时，即时， ，所以，

当时，即时， ，所以，

综上.

（3）当时，由（2）知， 在上单调递增，

即时， ，即，

所以，因为，所以，

所以.