Question

【题目】电商中“猫狗大战”在节日期间的竞争异常激烈，在刚过去的618全民年中购物节中，某东当日交易额达1195亿元，现从该电商“剁手党”中随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成了6组，得到如下所示的频率直方图．
（1）求顾客年龄的众数，中位数，平均数（每一组数据用中点做代表）；
（2）用样本数据的频率估计总体分布中的概率，则从全部顾客中任取3人，记随机变量X为顾客中年龄小于25岁的人数，求随机变量X的分布列以及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：频率分布直方图中，[25，35）对应的小矩形最高，

∴众数为m= =30，

由频率分布直方图，得：

0.01×10+0.02×10=0.3＜0.5，

0.3+0.03×10=0.6＞0.5，

∴中位数在区间[25，35）内，设为n，

则（n﹣25）×0.03+0.3=0.5，

解得n≈31.7；

平均数为 =0.01×10×10+0.02×10×20+0.03×10×30

+0.025×10×40+0.01×10×50+0.005×10×60=32

（2）解：用样本频率估计总体频率，知年龄小于25岁的概率为0.3，且X～B（3，0.3），

∴P（X=0）= （1﹣0.3）3=0.343，

P（X=1）= （1﹣0.3）20.3=0.441，

P（X=2）= （1﹣0.3）0.32=0.189，

P（X=3）= 0.33=0.027；

∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

数学期望为EX=3×0.3=0.9

【解析】（1）频率分布直方图中，根据小矩形最高的一组底边中点坐标求出众数，根据中位数两边频率相等求出中位数的值，根据每一组底边中点与对应频率的乘积求和求出平均数；（2）用样本频率估计总体频率得年龄小于25岁的概率值，利用X～B（3，0.3）求出X的分布列和数学期望值．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．