Question

7．已知正△PAB和菱形ABCD，面PAB⊥面ABCD，∠BAD=60°．
（1）求证：AB⊥PD； 
（2）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，利用线面垂直的性质定理证明AB⊥面POD，即可证明AB⊥PD； 
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求PC与平面PAD所成的角的正弦值．

解答 证明：（1）∵正△PAB和菱形ABCD，
∴取AB的中点O，
连接PO，OD，
则PO⊥AB，AB⊥OD，
∵PO∩OD=0，
∴AB⊥面POD，
∵PD?面POD，
∴AB⊥PD； 
（2）∵面PAB⊥面ABCD，PO⊥AB，
∴PO⊥面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
设OA=1，则AB=AP=2，
即OP=$\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$，
即A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$，0），B（-1，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$，），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，）
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=（-2，0，0），
则$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，）
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，则y=z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
则PC与平面PAD所成的角的正弦值sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PC}|}$=|$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{4+3+3}}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题主要考查线面垂直的性质的应用，以及直线和平面所成角的求解，利用向量法是解决直线和平面所成角的常用方法，考查学生的推理能力．