Question

1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求二面角EBDA的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面PBC；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角EBDA的余弦值．

解答 （1）证明：如图1，取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
所以BF∥CD且BF=/CD，
所以四边形BCDF为平行四边形，
所以DF∥BC．
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，
所以EF∥PB．
因为DF∩EF=F，PB∩BC=B，
所以平面DEF∥平面PBC．
因为DE?平面DEF，
所以DE∥平面PBC．
（2）取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，OP，
则ON∥AB．
在△PAD中，PA=PD=AD=2，
所以PO⊥AD，PO=$\sqrt{3}$．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD．
如图2，以O为坐标原点，分别以OA，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，4，0），
所以$\overrightarrow{DB}$=（2，4，0）．因为E为PA的中点，所以E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
易知$\overrightarrow{PO}$=（0，0，-$\sqrt{3}$）为平面ABD的一个法向量．设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，则x=2，z=-2$\sqrt{3}$，
所以$\overrightarrow{n}$=（2，-1，-2$\sqrt{3}$）为平面EBD的一个法向量．
所以cos＜$\overrightarrow{PO}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{51}}{17}$．
设二面角EBDA的大小为θ，知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以cos θ=$\frac{2\sqrt{51}}{17}$，即二面角EBDA的余弦值为$\frac{2\sqrt{51}}{17}$．

点评 本题主要考查直线和平面的判定，以及二面角的求解，根据线面平行的判定定理，以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．