题目内容

直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于不同的A，B两点．
（1）求AB的长度；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值，若不存在，写出理由．
联立方程组
y=kx+1
3x2-y2=1
，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，
∵直线与双曲线有两个交点，
∴
3-k2≠0
△=4k2+8(3-k2)＞0
，解得k2＜6且k2≠3，
x1+x2=
2k
3-k2
，x1x2=
-2
3-k2
．
（1）|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
2k
3-k2
)2-4•
-2
3-k2

=
2
-k4+5k2+6
|k2-3|
（k2＜6且k2≠3）．
（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴(k+1)•
-2
3-k2
+k•
2k
3-k2
+1=0，
整理得k2=1，符合条件，
∴k=±1．
练习册系列答案
相关题目
直线y=x+m与曲线y=
1-2x2
有两个交点，则实数m的取值范围是______．
如图，以
3
2
为离心率的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．
如图，已知椭圆C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）试用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为4
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C（
1
3
，0），使得|AC|=|BC|，求直线l的方程．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于P、Q两点，△F2PQ的周长为4
3
．
（1）若椭圆的离心率e=
3
3
，求椭圆的方程；
（2）若M为椭圆上一点，
MF1
•
MF2
=1，求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程．
已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=
2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若
MQ
=2
QP
，求直线l的斜率．
已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．
如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=
5
5
，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2周长为4
5
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过椭圆中心，且斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，若△APB的面积为
40
9
，求k的值．

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