题目内容
如图,以
为离心率的椭圆
+
=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B,点P是椭圆位于x轴上方的一点,且△PAB的面积最大值为2.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设点Q是椭圆位于x轴下方的一点,直线AP、BQ的斜率分别为k1,k2,若k1=7k2,设△BPQ与△APQ的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值.
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设点Q是椭圆位于x轴下方的一点,直线AP、BQ的斜率分别为k1,k2,若k1=7k2,设△BPQ与△APQ的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值.
(Ⅰ)∵以
为离心率的椭圆
+
=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B,
点P是椭圆位于x轴上方的一点,且△PAB的面积最大值为2,
∴
,(2分)
解得a=2,b=1,c=
,
∴椭圆方程为
+y2=1.(4分)
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
设直线PQ的方程为x=my+t,代入
+y2=1,
得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0,(5分)
△=4m2t2-4m2t2-16t2+16m2+64=-16t2+16m2+64,
∵A(-2,0),B(2,0),直线AP、BQ的斜率分别为k1,k2,
∴k1=
,k2=
,
由k1=7k2,得
=
,
∴
=49,∴
=49,(7分)
∴
=49,∴12x1x2+25(x1+x2)+48=0,①
x1x2=(my1+t)(my2+t)=
,
x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=
,
代入①得6t2+25t+24=0,得t=-
,或t=-
(是增根,舍去),(9分)
∴
,(10分)
所以|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=
≤
,
当m2=
时最大值.(11分)
∴S1-S2=
×3×|y1-y2|≤2,
∴S1-S2的最大值为2.(12分)
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
点P是椭圆位于x轴上方的一点,且△PAB的面积最大值为2,
∴
|
解得a=2,b=1,c=
3 |
∴椭圆方程为
x2 |
4 |
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
设直线PQ的方程为x=my+t,代入
x2 |
4 |
得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0,(5分)
△=4m2t2-4m2t2-16t2+16m2+64=-16t2+16m2+64,
∵A(-2,0),B(2,0),直线AP、BQ的斜率分别为k1,k2,
∴k1=
y1 |
x1+2 |
y2 |
x2-2 |
由k1=7k2,得
y1 |
x1+2 |
7y2 |
x2-2 |
∴
y12(x2-2)2 |
y12(x1+2)2 |
(1-
| ||
(1-
|
∴
(2-x1)(2-x2) |
(2+x1)(2+x2) |
x1x2=(my1+t)(my2+t)=
4(t2-m2) |
m2+4 |
x1+x2=(my1+t)+(my2+t)=
8t |
m2+4 |
代入①得6t2+25t+24=0,得t=-
3 |
2 |
8 |
3 |
∴
|
所以|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=
16m2+28 |
(m2+4)2 |
16 |
9 |
当m2=
1 |
2 |
∴S1-S2=
1 |
2 |
∴S1-S2的最大值为2.(12分)
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