题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为4
3

(1)若椭圆的离心率e=
3
3
,求椭圆的方程;
(2)若M为椭圆上一点,
MF1
MF2
=1,求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程.
(1)∵△F2PQ的周长为4
3
,∴4a=4
3

∴a=
3

又∵椭圆的离心率e=
3
3
,∴c=1,
∴b=
a2-c2
=
2

∴椭圆的方程为
x2
3
+
y2
2
=1
…(4分)
(2)设M(x0,y0),F1(-c,0),F2(c>0),
MF1
MF2
=1,得x02+y02=c2+1 ①…(6分)
又b2x02+a2y02=a2b2②…(7分)
由 ①②可得y02=
2b2-b2c2
c2
=
(a2-c2)(2-c2)
c2
…(8分)
∵y02>0,∴c2<2.
又由①可知x02+y02=c2+1≥b2=a2-c2=3-c2
∴c2≥1,
∴1≤c2<2.…(10分)
△MF1F2的面积=
1
2
•2c|y0|=
c4-5c2+6
=
(c2-
5
2
)2-
1
4

由函数单调性知仅当c2=1时△MF1F2的面积有最大值
2

此时b=
a2-c2
=
2
…(11分)
∴所求的椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1
…(12分)
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