题目内容
已知椭圆
+
=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为4
.
(1)若椭圆的离心率e=
,求椭圆的方程;
(2)若M为椭圆上一点,
•
=1,求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
(1)若椭圆的离心率e=
| ||
3 |
(2)若M为椭圆上一点,
MF1 |
MF2 |
(1)∵△F2PQ的周长为4
,∴4a=4
,
∴a=
,
又∵椭圆的离心率e=
,∴c=1,
∴b=
=
,
∴椭圆的方程为
+
=1…(4分)
(2)设M(x0,y0),F1(-c,0),F2(c>0),
由
•
=1,得x02+y02=c2+1 ①…(6分)
又b2x02+a2y02=a2b2②…(7分)
由 ①②可得y02=
=
…(8分)
∵y02>0,∴c2<2.
又由①可知x02+y02=c2+1≥b2=a2-c2=3-c2,
∴c2≥1,
∴1≤c2<2.…(10分)
△MF1F2的面积=
•2c|y0|=
=
由函数单调性知仅当c2=1时△MF1F2的面积有最大值
,
此时b=
=
…(11分)
∴所求的椭圆方程为
+
=1…(12分)
3 |
3 |
∴a=
3 |
又∵椭圆的离心率e=
| ||
3 |
∴b=
a2-c2 |
2 |
∴椭圆的方程为
x2 |
3 |
y2 |
2 |
(2)设M(x0,y0),F1(-c,0),F2(c>0),
由
MF1 |
MF2 |
又b2x02+a2y02=a2b2②…(7分)
由 ①②可得y02=
2b2-b2c2 |
c2 |
(a2-c2)(2-c2) |
c2 |
∵y02>0,∴c2<2.
又由①可知x02+y02=c2+1≥b2=a2-c2=3-c2,
∴c2≥1,
∴1≤c2<2.…(10分)
△MF1F2的面积=
1 |
2 |
c4-5c2+6 |
(c2-
|
由函数单调性知仅当c2=1时△MF1F2的面积有最大值
2 |
此时b=
a2-c2 |
2 |
∴所求的椭圆方程为
x2 |
3 |
y2 |
2 |
练习册系列答案
相关题目