Question

14．设f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若在定义域内存在x₀，使f（x₀）≤m能成立，求m的最小值
（2）若函数g（x）=f（x）-x²-x-a在[0，2]上有且只有一个零点，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得单调区间，可得f（x）的极小值，最小值，由不等式成立的思想，可得m的范围，进而得到m的最小值；
（2）先求出g（x）的导数，讨论其单调性，得到$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$或或g（1）=0，继而求出范围．

解答 解：（1）f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）的导数为f′（x）=2（x+1）-$\frac{2}{x+1}$
=$\frac{2x（x+2）}{x+1}$，
当x＞0时，导数大于0，f（x）递增；当-1＜x＜0时，导数小于0，f（x）递减，
即有x=0处取得极小值，也为最小值，且为1，
由题意可得，m≥1，
则有m的最小值为1；
（2）由已知得g（x）=f（x）-x²-x-a，
∴g′（x）=f′（x）-2x-1=2（x+1）-$\frac{2}{x+1}$-2x-1=$\frac{x-1}{x+1}$，
∴当x＞1时，g′（x）＞0，当-1＜x＜1，g′（x）＜0，
∴当x∈[0，1]，g′（x）＜0，此时F（x）单调递减，
当x∈[1，2]，g′（x）＞0，此时F（x）单调递增，
∴g（0）=1-a，g（2）=-3-2ln3-a，g（0）＞g（2），
∵函数g（x）=f（x）-x²-x-a在[0，2]上只有一个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$或g（1）=0，
解得3-2ln3＜a≤1，或a=2-2ln2．
故实数a的取值范围是3-2ln3＜a≤1，或a=2-2ln2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查不等式成立的条件和函数方程的转化思想，属于中档题．