题目内容

4.证明:$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{2}{2i-1}$-ln(2n-1)<2(n∈N*

分析 令f(x)=ln(1+x)-x(-1<x<0),${f}^{′}(x)=\frac{1}{1+x}-1$=$\frac{-x}{1+x}$>0,可得函数f(x)在(-1,0)上单调递增.取x=$\frac{2}{1-2n}$(n≥2),可得$ln(1+\frac{2}{1-2n})$-$\frac{2}{1-2n}$<f(0)=0,即$\frac{2}{2n-1}$<ln(2n+1)-ln(2n-1),分别取n=2,3,…,n.“累加求和”即可得出.

解答 证明:令f(x)=ln(1+x)-x(-1<x<0),
${f}^{′}(x)=\frac{1}{1+x}-1$=$\frac{-x}{1+x}$>0,
∴函数f(x)在(-1,0)上单调递增.
取x=$\frac{2}{1-2n}$(n≥2),
则$ln(1+\frac{2}{1-2n})$-$\frac{2}{1-2n}$<f(0)=0,
∴$\frac{2}{2n-1}$<ln(2n+1)-ln(2n-1),
分别取n=2,3,…,n.
则$\frac{2}{2×2-1}$<ln3-ln1,
$\frac{2}{2×3-1}$<ln5-ln3,
…,
$\frac{2}{2n-1}$<ln(2n-1)-ln(2n-3).
∴$\frac{2}{2×2-1}$+$\frac{2}{2×3-1}$+…+$\frac{2}{2n-1}$<ln(2n-1).
∴$\frac{2}{2×1-1}$+$\frac{2}{2×2-1}$+$\frac{2}{2×3-1}$+…+$\frac{2}{2n-1}$-ln(2n-1)<2.
即$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{2}{2i-1}$-ln(2n-1)<2(n∈N*).

点评 本题考查了通过构造函数利用单调性证明不等式的方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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