题目内容

12.已知x,y满足 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y-8≤0}\\{x-4y+4≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$,求z=3x+y的最大值和最小值.

分析 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最值.

解答 解:作出不等式对应的平面区域如图,
由z=3x+y,得y=-3x+z,
平移直线y=-3x+z,由图象可知当直线y=-3x+z,经过点A(0,1)时,直线y=-3x+z的截距最小,
此时z最小.此时z的最小值为z=1,
可知当直线y=-3x+z,经过点C时,直线y=-3x+z的截距最大,
此时z最大.
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-8=0}\\{x-4y+4=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$,即C(4,2),
此时z的最大值为z=12+2=14.

点评 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

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