Question

6．已知x，y，z为正数，3^x=4^y=12^z．
（1）若z=1，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值；
（2）证明：5z＜3x＜4y．

Answer 1

分析 （1）由z=1，可得3^x=4^y=12．于是x=$\frac{lg12}{lg3}$，y=$\frac{lg12}{lg4}$．代入$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$即可得出．
（2）设3^x=4^y=12^z=k＞1，则x=$\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{lg4}$，z=$\frac{lgk}{lg12}$．可得3x=$\frac{3lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，5z=$\frac{5lgk}{lg12}$=$\frac{lgk}{lg\root{5}{12}}$，4y=$\frac{4lgk}{lg4}$=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$．通过根式的运算性质可比较$\root{5}{12}$，$\root{3}{3}$，$\sqrt{2}$的大小关系，即可得出．

解答 （1）解：∵z=1，∴3^x=4^y=12．
∴x=$\frac{lg12}{lg3}$，y=$\frac{lg12}{lg4}$．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lg3}{lg12}+\frac{lg4}{lg12}$=$\frac{lg12}{lg12}$=1．
（2）证明：设3^x=4^y=12^z=k＞1，
则x=$\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{lg4}$，z=$\frac{lgk}{lg12}$．
∴3x=$\frac{3lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，5z=$\frac{5lgk}{lg12}$=$\frac{lgk}{lg\root{5}{12}}$，4y=$\frac{4lgk}{lg4}$=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$．
∵$\root{5}{12}$=$\root{15}{1{2}^{3}}$，$\root{3}{3}$=$\root{15}{{3}^{5}}$，
∴$\root{5}{12}$＞$\root{3}{3}$，
又lgk＞0，
∴5z＜3x，
同理可得：3x＜4y．
∴5z＜3x＜4y．

点评 本题考查了指数与对数的运算性质、对数换底公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．