题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)设,比较
与1的大小关系,并说明理由.
【答案】(1)当时,函数
无极值,当
时,函数
有极大值
,无极小值;(2)
,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)依题意,分子是一个二次项系数含有参数的式子,所以要对
进行分类讨论,根据开口方向,将
分成
和
两类来讨论函数的单调区间和极值;(2)
,即比较
与
的大小. 令
,即比较
与
的大小.构造函数
利用导数求得其最大值为
,得证.
试题解析:
(1)依题意
①若,则
在
上恒成立,函数
无极值;
②若,则
,此时
,
令,解得
,令
,解得
,
故函数的单调增区间为
,单调减区间为
,
故函数的极大值为
,无极小值.
综上所述,当时,函数
无极值;当
时,函数
有极大值
,无极小值
(2)依题意,,
要比较与1的大小 ,即比较
与
的大小.
∵,∴可比较
与
的大小
令,即比较
与
的大小.
设,
则,
因为,所以
,所以函数
在
上单调递减,
故,所以
对任意
恒成立,
所以,
所以
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