题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据题设条件可以得出AB⊥AP,CD⊥PD.而AB//CD,就可证明出AB⊥平面PAD.
进而证明出平面PAB⊥平面PAD.(2)先找出AD中点,找出相互垂直的线,建立以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长的空间直角坐标系,列出所需要的点的坐标,设
是平面
的法向量,
是平面
的法向量,根据垂直关系,求出
和
,利用数量积公式可求出二面角的平面角.
试题解析:(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面内做
,垂足为
,
由(1)可知, 平面
,故
,可得
平面
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.
由(1)及已知可得,
,
,
.
所以,
,
,
.
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取.
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取.
则,
所以二面角的余弦值为
.
点睛:高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目