Question

已知.
（1）求函数在上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.

Answer 1

（1）；（2）；
（3）设，则，
证得，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立.

解析试题分析：（1）定义域为，，
当单调递减，
当，单调递增.                     2分
①无解；                                  3分
②，即时，
③，即时，在上单调递增，
所以
（2），则，对一切恒成立
设，则
单调递减，单调递增     8分
在上，有唯一极小值，即为最小值.
所以，因为对一切恒成成立，
所以；                                          9分
（3）问题等价于证明，
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易得，当且仅当时取到，                11分
从而对一切，都有成立.                   12分
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，不等式的证明。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）（3）涉及恒成立问题、不等式证明问题，均通过转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，在研究函数最值的过程中，再次利用导数。