题目内容
已知函数
(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围.
(2)当时,比较与1的大小.
(3)求证:
(1)
(2)①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即
(3)利用(2)的结论或数学归纳法证明
解析试题分析:(1)当时,,定义域是, 1分
,
令,得或. 2分
当或时,,当时,,
函数在、上单调递增,在上单调递减. 4分
的极大值是,极小值是.
当时,;当时,,
当仅有一个零点时,或.
∴的取值范围是 5分
(2)当时,,定义域为.
令,
,
在上是增函数. 7分
∵
∴①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即. 9分
(3)(法一)根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,
. 12分
,. 14分
(法二)①当时,.
,,即时命题成立. 10分
②假设时,命题成立,即.
则当时,
.
根据(2)的结论,当时,,即
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