Question

【题目】如图所示，图（a）、图（b）是边长为的两块正方形钢板，现要将图（a）裁剪焊接成一个正四棱柱，将图（b）裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于这个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．

（1）将裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；

（2）比较所制成的正四棱柱和正四棱锥体积大小．

Answer 1

【答案】（1）图见解析，说明见解析；（2）正四棱柱的体积大于正四棱锥的体积.

【解析】

（1）根据正四棱柱的底面是两个全等的正方形，正四棱锥的侧面是四个全等的等腰三角形，进而可对图（a）和图（b）的裁剪方法进行说明；

（2）分别求出正四棱柱和正四棱锥的体积，比较大小后可得出结论.

（1）将图（a）按虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱．

将图（b）按虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为的正方形作为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形拼成一个等腰三角形作为另一个侧面，焊接成一个底面边长为，斜高为的正四棱锥；

（2）正四棱柱的底面边长，高为，则正四棱柱的体积为．

正四棱锥底面边长为，高，则正四棱锥的体积为．

，因此，正四棱柱的体积大于正四棱锥的体积．