Question

8．在△ABC中，已知$\sqrt{3}$sin2B=1-cos2B．
（1）求角B的值；
（2）若BC=2，A=$\frac{π}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及角B的范围化简已知等式可得tanB=$\sqrt{3}$，即可解得B的值．
（2）由已知，根据正弦定理可求AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}=\sqrt{6}$及C，sinC的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$sin2B=1-cos2B．
∴2$\sqrt{3}$sinBcosB=2sin²B，
∵0＜B＜π，sinB＞0，
∴tanB=$\sqrt{3}$，解得B=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{3}$，
∴根据正弦定理可得：AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}=\sqrt{6}$．
∵C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$，
∴sinC=sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}AC•BCsinC$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基本知识的考查．