题目内容
设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围.
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
(Ⅰ)求公差d的取值范围.
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:依题意,有
,
即 由a3=12,得a1=12-2d. ③
将③式分别代①、②式,得,<d<-3
(Ⅱ)解法一:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于 S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即 a6+a7>0,a7<0,此得a6>-a7>0.
因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅱ)解法二:
=.
∵ d<0,∴最小时,Sn最大.
当 <d<-3时 ,
∵正整数n=6时最小,∴S6最大.
(Ⅲ)解法三:由d<0可知 a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅰ)解:依题意,有
,
|
将③式分别代①、②式,得,<d<-3
(Ⅱ)解法一:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于 S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即 a6+a7>0,a7<0,此得a6>-a7>0.
因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅱ)解法二:
=.
∵ d<0,∴最小时,Sn最大.
当 <d<-3时 ,
∵正整数n=6时最小,∴S6最大.
(Ⅲ)解法三:由d<0可知 a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
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