题目内容
【题目】已知椭圆的长轴长为4,且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线的斜率为
,且与椭圆相交于
,
两点(异于点
),过
作
的角平分线交椭圆于另一点
.证明:直线
与坐标轴平行.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)根据椭圆的性质,求解即可;
(2)因为平分
,欲证
与坐标轴平行,即证明直线
的方程为
或
,只需证
,
斜率都存在,且满足
即可.将直线
的方程与椭圆方程联立,结合韦达定理求解即可.
(1)解:,将
代入椭圆方程,得
,
解得,故椭圆的方程为
.
(2)证明:∵平分
欲证与坐标轴平行,即证明直线
的方程为
或
只需证,
斜率都存在,且满足
即可.
当或
斜率不存在时,即点
或点
为
,
经检验,此时直线与椭圆相切,不满足题意,故
,
斜率都存在.
设直线:
,
,
,
联立,
,∴
,
由韦达定理得,
,
得证.
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