题目内容
【题目】已知椭圆
的长轴长为4，且经过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线
的斜率为
，且与椭圆相交于
，
两点（异于点
），过作
的角平分线交椭圆于另一点
.证明：直线
与坐标轴平行.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据椭圆的性质，求解即可；
（2）因为
平分
，欲证与坐标轴平行，即证明直线的方程为
或
，只需证
，
斜率都存在，且满足
即可.将直线
的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.
（1）解：
，将
代入椭圆方程，得
，
解得
，故椭圆的方程为.
（2）证明：∵平分
欲证与坐标轴平行，即证明直线的方程为或
只需证，斜率都存在，且满足即可.
当或斜率不存在时，即点
或点
为
，
经检验，此时直线与椭圆相切，不满足题意，故，斜率都存在.
设直线：
，
，
，
联立
，
，∴
，
由韦达定理得
，
，
得证.
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