Question

【题目】如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，.

（1）证明：；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）在平面图形中，过点作的垂线交于点，得，在中，利用余弦定理求得，根据相似可得，从而证出，再由平面，可得，利用线面垂直的判定定理可证出平面，进而证出.

（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由，利用空间向量的数量积即可求解.

（1）证明：如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，

易得，故，

在中，由余弦定理知，

，

故.

由相似可知，，

又，∴，

故，∴.

又点在底面的投影为，∴平面，∴，

又，∴平面，∴.

（2）解：如图，以为原点，，，分别为，，轴

建立空间直角坐标系，由（1）知，

故，，，

，，，

故，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，解得，故.

同理，可求得平面的一个法向量为，

设二面角为，

则.