题目内容
【题目】如图,四棱锥,
,
,
在底面
上的投影
在
上.
(1)证明.
(2)为棱
上一点,若
与面
所成的角和与面
所成的角相等,求
的值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)连接,
,根据线面垂直的判定定理,先证明
面
,进而可得
;
(2)先由(1)知,为
中点,取
中点
,连接
,
,根据题意,得到
、
、
三点共线;再由得到
面
;作
垂足为
面
;再结合题中条件,得到
,进而可得出结果.
(1)连接,
,∵
面
,∴
,
;
又,故易知
;
∵,则
,故
;
又且
,
∴面
,∴
;
(2)由(1)易知为
中点,取
中点
,连接
,
,
因为四边形为正方形,显然
、
、
三点共线;
∵平行且等于
,
∴四边形为平行四边形,得
;
又,而
,
∴面
面
面
且交线为
;
易知为等腰直角三角形
∴
面
;
作垂足为
面
;
∵与面
所成的角和与面
所成角相等,即
,
又.
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